부채꼴 공식 한 번에 정리 넓이와 호의 길이 + 실전 연습문제 PDF

 

수학 문제를 풀다 보면 종종 만나게 되는 부채꼴. 원의 일부분을 차지하는 부채꼴은 그 특성상 중심각과 밀접한 관계가 있으며, 부채꼴의 넓이와 호의 길이를 구하는 공식은 중등 및 고등 과정에서 매우 중요한 개념입니다. 이 글에서는 부채꼴의 넓이 공식부터 호의 길이를 구하는 방법까지, 단계별로 자세히 알아보겠습니다.

 

 

부채꼴 공식

 

부채꼴이란?

 

부채꼴이란 원의 중심에서 두 개의 반지름으로 원을 나누었을 때 생기는 원의 일부분을 의미합니다. 쉽게 말해, 부채꼴은 원의 조각과도 같습니다.

 

이러한 부채꼴의 넓이와 호의 길이는 중심각에 비례하며, 중심각이 클수록 넓이와 호의 길이도 커지게 됩니다. 하지만 부채꼴의 넓이와 달리, 현의 길이는 중심각에 비례하지 않는다는 점이 흥미롭습니다.

 

 

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중등 과정에서의 부채꼴 넓이 공식

공식

 

 

부채꼴의 넓이를 구하기 위해서는 우선 중심각을 알아야 합니다. 예를 들어, 중심각이 60°인 부채꼴은 원을 6등분한 조각 중 하나입니다. 원의 넓이를 구한 뒤, 이를 6으로 나누면 부채꼴의 넓이가 됩니다. 이때, 공식은 다음과 같습니다.

 

부채꼴의 넓이 = 원의 넓이 × (중심각 ÷ 360)

 

만약 중심각이 120°라면, 원을 3등분한 것이 부채꼴이 됩니다. 이를 공식으로 표현하면, 부채꼴의 넓이는 원 넓이에 중심각을 360으로 나눈 값을 곱한 결과입니다.

 

 

중심각을 모를 때의 부채꼴 넓이 공식

중심각을 알지 못할 때에도 부채꼴의 넓이를 구할 수 있는 방법이 있습니다. 이 경우, 호의 길이를 사용하여 넓이를 구하는 공식이 등장합니다. 공식은 다음과 같습니다.

 

부채꼴의 넓이(S) = 1/2 × r × l  (l = 호의 길이)

 

이 공식에서는 반지름(r)과 호의 길이(l)를 이용해 넓이를 구할 수 있습니다. 즉, 중심각이 없더라도 부채꼴의 호 길이만 알면 넓이를 쉽게 계산할 수 있습니다.

 

 

부채꼴 호의 길이 구하는 공식

부채꼴에서 호의 길이를 구하는 방법 역시 중요합니다. 호의 길이는 원 둘레의 일부분으로, 중심각에 비례합니다. 예를 들어, 중심각이 60°라면 원 둘레를 6등분한 것 중 하나가 호의 길이가 됩니다. 이를 공식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

호의 길이(l) = 원 둘레 × (중심각 ÷ 360)

 

고등 과정에서의 부채꼴 넓이 공식

고등학교 과정에서는 삼각함수 단원을 통해 부채꼴 문제를 접하게 됩니다. 이때, 부채꼴의 호의 길이는 호도법을 사용하여 나타내므로 다음과 같은 공식이 추가됩니다.

호의 길이(l) = rθ

 

이를 이용해 부채꼴 넓이 공식을 새롭게 유도할 수 있습니다. 중심각이 없을 때의 부채꼴 넓이 공식을 변형하면 다음과 같습니다.

 

부채꼴의 넓이(S) = 1/2 × r × rθ = 1/2 × r^2θ

 

이 공식을 외워두면, 고등학교 과정에서도 부채꼴 문제를 쉽게 풀 수 있습니다.

 

 

예제 문제 풀이

연습문제 PDF

 

문제: 반지름이 6이고, 넓이가 24π인 부채꼴의 중심각의 크기(θ)와 호의 길이(l)의 값을 구하시오.

 

먼저, 부채꼴 넓이 공식을 이용해 문제를 풀이해 보겠습니다.

1/2 × 6 × l = 24π

 

이를 풀면,

3l = 24π → l = 8π

 

다음으로, 중심각(θ)을 구합니다.

1/2 × r^2θ = 24π

1/2 × 36 × θ = 18θ = 24π

θ = 24π ÷ 18 = 4π/3

 

마지막으로, θ와 l의 값을 더한 결과는 다음과 같습니다.

θ + l = 8π + 4/3π = 28/3π

 

이 문제는 중학교 때 배운 공식으로도 풀 수 있지만, 고등학교에서 배운 공식으로 풀어도 더욱 효율적입니다. 반지름이 6인 원의 넓이는 36π이므로, 중심각이 240°임을 빠르게 알 수 있습니다.

 

 

결론: 부채꼴 공식을 기억하면 수학 문제는 쉬워진다

부채꼴 넓이 공식만 확실히 기억하고 있다면, 고등학교 과정에서 다루는 부채꼴 문제는 어렵지 않습니다. 중심각이 주어지든 주어지지 않든, 공식을 활용하면 쉽게 해결할 수 있습니다. 다만, 호도법을 사용하는 풀이도 중요하므로 반드시 알고 있어야 합니다.

 

이 공식을 제대로 이해한다면 부채꼴 문제는 더 이상 어려운 장애물이 아니라, 간단히 해결할 수 있는 문제로 변할 것입니다.

 

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